Вычислите значение выражения 7 умножить на 5 в степени логарифма 4 по основанию 5.
Подробное объяснение
Для решения данного выражения используется основное логарифмическое тождество: a^(log_a b) = b, где a > 0, a ≠ 1, b > 0. В нашем случае основание a = 5, а аргумент b = 4. Применяя это тождество, получаем: 5^(log_5 4) = 4. Затем умножаем результат на 7: 7 × 4 = 28. Таким образом, значение исходного выражения равно 28.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Что такое основное логарифмическое тождество?
Основное логарифмическое тождество гласит: a^(log_a b) = b, где a > 0, a ≠ 1, b > 0. Оно позволяет упрощать выражения, содержащие логарифмы и степени с одинаковыми основаниями.
2
В каких случаях применяется тождество a^(log_a b) = b?
Это тождество применяется, когда нужно вычислить выражение, где основание степени совпадает с основанием логарифма в показателе степени. Оно работает только при допустимых значениях: a > 0, a ≠ 1, b > 0.
3
Как проверить правильность применения логарифмического тождества?
Для проверки можно вычислить логарифм от обеих частей тождества. Например, для a^(log_a b) = b, логарифмируя по основанию a, получим log_a(a^(log_a b)) = log_a b, что упрощается до log_a b = log_a b, подтверждая верность тождества.
Типичные ошибки
1
Неправильное применение тождества: 5^(log_5 4) = 5 × 4 = 20
Это неверно, так как логарифм находится в показателе степени, а не умножается на основание. Правильно использовать тождество a^(log_a b) = b, что дает 4, а не 5 × 4.
2
Забывание умножить на коэффициент 7 после упрощения
После упрощения 5^(log_5 4) до 4, нужно не забыть умножить результат на 7, как указано в исходном выражении: 7 × 4 = 28. Пропуск этого шага приводит к неверному ответу 4.
3
Использование неверных свойств логарифмов, например, log_5 4 = log 4 / log 5 без необходимости
В данном выражении не требуется вычислять численное значение логарифма, так как тождество a^(log_a b) = b позволяет сразу получить результат 4. Лишние вычисления усложняют решение и могут привести к ошибкам округления.