Как сократить дробь (a+4)/(16-a^2) и найти ее упрощенный вид?
Подробное объяснение
Для сокращения дроби (a+4)/(16-a^2) разложим знаменатель как разность квадратов: 16-a^2 = (4-a)(4+a). Тогда дробь примет вид (a+4)/((4-a)(4+a)). Поскольку a+4 = 4+a, сокращаем общий множитель (4+a) в числителе и знаменателе, получая 1/(4-a) при условии, что a ≠ ±4.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Что такое разность квадратов и как ее применять?
Разность квадратов — это формула: x^2 - y^2 = (x - y)(x + y). В данном случае 16 - a^2 = 4^2 - a^2 = (4 - a)(4 + a).
2
Почему при сокращении дроби нужно указывать область допустимых значений?
Сокращать можно только на ненулевые множители. Знаменатель исходной дроби не должен быть равен нулю, поэтому a ≠ ±4. В упрощенной дроби 1/(4-a) также a ≠ 4, но a = -4 не входит в ОДЗ исходной дроби.
3
Как проверить правильность сокращения дроби?
Подставьте конкретное значение a (например, a=0) в исходную и упрощенную дроби. Если результаты совпадают, сокращение верно. Для a=0: исходная дробь = 4/16 = 1/4, упрощенная = 1/4.
Типичные ошибки
1
Неправильное разложение знаменателя: 16 - a^2 = (a - 4)(a + 4).
Это неверно, так как (a-4)(a+4) = a^2 - 16, а не 16 - a^2. Правильное разложение: 16 - a^2 = (4 - a)(4 + a).
2
Сокращение без учета области допустимых значений: сокращение на (a+4) при a = -4.
При a = -4 исходная дробь не определена (знаменатель равен нулю), поэтому сокращение допустимо только при a ≠ -4.
3
Ошибочное сокращение: (a+4)/(16-a^2) = 1/(4+a).
Это неверно, так как после разложения знаменателя получается (a+4)/((4-a)(4+a)). Сокращение (a+4) дает 1/(4-a), а не 1/(4+a).