Установите соответствие между четырьмя математическими неравенствами и их решениями, записав в таблицу ответов соответствующие номера решений под каждой буквой.
Подробное объяснение
Для неравенства A (2^(-x+1) < 0,5) преобразуем 0,5 в 2^(-1) и, учитывая основание 2>1, получаем -x+1 < -1, что даёт решение x>2, соответствующее варианту 3. В неравенстве Б ((x-5)^2/(x-4) < 0) числитель всегда неотрицателен, поэтому дробь отрицательна только при отрицательном знаменателе x-4<0, что даёт x<4 (вариант 4). Для неравенства В (log₄ x > 1) с областью определения x>0 и основанием 4>1 получаем x>4, что соответствует варианту 1. Неравенство Г ((x-4)(x-2) < 0) решается методом интервалов: произведение отрицательно между корнями 2 и 4, что даёт решение (2;4) - вариант 2.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Как решать показательные неравенства с основанием больше 1?
При основании больше 1 знак неравенства сохраняется при переходе к сравнению показателей. Например, a^f(x) < a^g(x) равносильно f(x) < g(x) при a>1.
2
Когда дробь отрицательна?
Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки: либо числитель положителен и знаменатель отрицателен, либо числитель отрицателен и знаменатель положителен.
3
Как решать логарифмические неравенства?
Для логарифмических неравенств log_a f(x) > b при a>1 сначала находим область определения (f(x)>0), затем переходим к равносильному неравенству f(x) > a^b.
Типичные ошибки
1
Неучёт области определения в логарифмических неравенствах
При решении log₄ x > 1 часто забывают, что x должен быть положительным, что является обязательным условием существования логарифма.
2
Неправильное сравнение показателей в показательных неравенствах
При основании 2>1 знак неравенства сохраняется, но некоторые ошибочно меняют его на противоположный, что приводит к неверному решению.
3
Неверное определение знаков в дробно-рациональных неравенствах
В неравенстве (x-5)²/(x-4) < 0 иногда ошибочно считают, что квадрат всегда положителен, забывая, что он может быть нулём, но в данном случае это не влияет на решение, так как при x=5 дробь равна 0, а не отрицательна.