Материальная точка движется по закону x(t) = 1/3 t³ - 5t² - 4t - 7, где x — расстояние в метрах, t — время в секундах. Определите момент времени, когда скорость точки достигает 71 м/с.
Подробное объяснение
Скорость материальной точки определяется как производная от координаты по времени. Находим производную функции x(t): v(t) = x'(t) = t² - 10t - 4. Приравниваем полученное выражение к заданному значению скорости 71 м/с: t² - 10t - 4 = 71. Преобразуем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения: t² - 10t - 75 = 0. Решаем его через дискриминант: D = (-10)² - 4·1·(-75) = 400, корни t = (10 ± 20)/2, получаем t₁ = 15 и t₂ = -5. Поскольку время отсчитывается с начала движения, выбираем неотрицательное значение t = 15 секунд.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Как связаны скорость и координата при прямолинейном движении?
Скорость является первой производной координаты по времени: v(t) = dx/dt. Это позволяет находить скорость через закон движения.
2
Почему при решении квадратного уравнения мы отбрасываем отрицательный корень?
В физических задачах время обычно отсчитывается от начала движения (t = 0), поэтому отрицательные значения времени не имеют физического смысла и не рассматриваются.
3
Что делать, если в задаче скорость задана как векторная величина?
Для прямолинейного движения скорость считается скалярной величиной, учитывающей направление через знак. Если скорость отрицательна, это означает движение в противоположном направлении.
Типичные ошибки
1
Неверное нахождение производной
Некоторые забывают правила дифференцирования, например, производная t³ равна 3t², а не t², что приводит к ошибке в коэффициентах.
2
Игнорирование физического смысла времени
Выбор отрицательного корня t = -5 секунд неверен, так как время не может быть отрицательным при отсчёте от начала движения.
3
Ошибка в преобразовании уравнения
При переносе числа 71 в левую часть уравнения некоторые забывают изменить знак, получая t² - 10t - 4 - 71 = 0 вместо правильного t² - 10t - 75 = 0.