Найдите значение предела функции f(x) = (x² - 1)/(x - 1) при x, стремящемся к 1.
Подробное объяснение
Для нахождения предела раскладываем числитель на множители: x² - 1 = (x - 1)(x + 1). После сокращения на (x - 1) при x ≠ 1 получаем выражение x + 1. Вычисляем предел: lim_{x→1} (x + 1) = 2. Таким образом, предел равен 2.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Что такое предел функции?
Предел функции показывает, к какому значению стремится функция, когда аргумент приближается к определенной точке.
2
Как раскладывать многочлены на множители?
Для разложения на множители используйте формулы сокращенного умножения или группировку. Например, разность квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b).
Типичные ошибки
1
Подстановка x = 1 в исходное выражение дает неопределенность 0/0, и некоторые считают, что предел не существует.
Неопределенность 0/0 не означает, что предел не существует. Ее нужно раскрыть, например, разложением на множители.
2
Сокращение (x-1) без учета, что x ≠ 1, и затем подстановка x=1.
Сокращение допустимо только при x ≠ 1, но при вычислении предела это не влияет на результат, так как предел рассматривает значения, сколь угодно близкие к 1, но не равные 1.
3
Неправильное разложение числителя, например, (x-1)(x-1).
Разность квадратов: x² - 1 = (x-1)(x+1), а не (x-1)(x-1). Проверяйте правильность разложения.