В окружность с центром O вписан треугольник ABC. Известно, что угол BCA равен 82°. Определите величину угла BOA в градусах.
Подробное объяснение
Угол BCA является вписанным углом, который опирается на дугу BA. Центральный угол BOA опирается на ту же дугу BA. Согласно теореме о вписанном угле, центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол, в два раза больше вписанного угла. Следовательно, угол BOA = 2 × угол BCA = 2 × 82° = 164°.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Что такое вписанный угол?
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами этой окружности.
2
Как связаны вписанный и центральный углы, опирающиеся на одну дугу?
Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол, в два раза больше вписанного угла.
3
Что такое центральный угол окружности?
Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны являются радиусами.
Типичные ошибки
1
Приравнивание угла BOA к углу BCA (82°)
Это неверно, так как угол BOA — центральный, а угол BCA — вписанный, и они не равны, а связаны соотношением: центральный угол в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу.
2
Вычисление угла BOA как 360° - 82° = 278°
Это ошибка, возникающая из-за непонимания, что углы BCA и BOA опираются на одну дугу, а не являются смежными или дополнительными углами в окружности.
3
Использование теоремы о сумме углов треугольника для нахождения угла BOA
Угол BOA не является углом треугольника ABC, поэтому теорема о сумме углов треугольника (180°) здесь неприменима. Нужно использовать теорему о вписанном угле.