В окружности с центром O проведены диаметры AB и CK. Известно, что AK = 5 см, AB = 12 см. Найдите длину отрезка CB в сантиметрах.
Подробное объяснение
Поскольку AB — диаметр окружности, его длина равна 12 см, значит радиус составляет 6 см. Угол AKB опирается на диаметр AB, поэтому он прямой, и треугольник AKB — прямоугольный. По теореме Пифагора находим катет KB = √(12² - 5²) = √119 см. Так как CK также является диаметром, угол CBK тоже прямой, и в прямоугольном треугольнике CBK гипотенуза CK = 12 см, катет BK = √119 см. По теореме Пифагора находим CB = √(12² - 119) = √25 = 5 см.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Почему угол, опирающийся на диаметр, является прямым?
Это следствие теоремы о вписанном угле: вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90°, так как он измеряется половиной дуги, на которую опирается, а дуга, соответствующая диаметру, составляет 180°.
2
Как найти радиус окружности, если известен диаметр?
Радиус окружности равен половине длины диаметра. Если диаметр AB = 12 см, то радиус R = AB / 2 = 6 см.
3
Можно ли решить эту задачу без использования теоремы Пифагора?
Да, можно заметить, что хорды AK и CB равны, так как они стягивают равные центральные углы (точки A и B, C и K диаметрально противоположны). Поэтому CB = AK = 5 см.
Типичные ошибки
1
Использование неправильной формулы для радиуса
Некоторые ученики ошибочно считают, что радиус равен диаметру, а не его половине. Например, при AB = 12 см они могут принять R = 12 см, что приводит к неверным вычислениям.
2
Неверное применение теоремы Пифагора
В прямоугольном треугольнике гипотенуза — это всегда сторона, лежащая напротив прямого угла. Ошибка возникает, когда ученики путают гипотенузу и катеты, например, принимая AK за гипотенузу в треугольнике AKB.
3
Игнорирование свойства диаметра
Упущение того, что углы, опирающиеся на диаметр, прямые, может привести к неправильному выбору треугольников для решения или к использованию неверных геометрических соотношений.