Решите систему уравнений, состоящую из двух уравнений с двумя переменными: x² + 3x + y² = 2 и x² + 3x - y² = -6.
Подробное объяснение
Для решения данной системы уравнений используется метод вычитания уравнений. При вычитании второго уравнения из первого переменные x² и 3x взаимно уничтожаются, что позволяет получить простое уравнение 2y² = 8. Из этого уравнения находим y² = 4, откуда y = ±2. Подставляя найденные значения y в любое из исходных уравнений, получаем квадратное уравнение относительно x: x² + 3x + 2 = 0. Решая это уравнение, находим x = -1 и x = -2. Комбинируя значения x и y, получаем четыре решения системы: (-1,2), (-1,-2), (-2,2), (-2,-2).
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Почему при вычитании уравнений исчезают слагаемые с x² и 3x?
Потому что в обоих уравнениях эти слагаемые имеют одинаковые коэффициенты (1 и 3 соответственно), поэтому при вычитании они взаимно уничтожаются, что является стандартным приемом при решении систем уравнений.
2
Можно ли решить эту систему другим методом?
Да, можно использовать метод сложения уравнений, подстановки или графический метод. Однако метод вычитания в данном случае наиболее эффективен, так как сразу позволяет исключить переменную x.
3
Почему получается четыре решения, а не два?
Потому что при извлечении квадратного корня из y² = 4 получаем два значения: y = 2 и y = -2. Каждое из этих значений комбинируется с двумя найденными значениями x, что дает четыре различные пары решений.
Типичные ошибки
1
Забыть про отрицательное значение при извлечении квадратного корня
Из уравнения y² = 4 следует, что y = ±2, а не только y = 2. Игнорирование отрицательного корня приводит к потере половины решений системы.
2
Неправильно выполнить вычитание уравнений
При вычитании второго уравнения из первого нужно аккуратно вычитать все слагаемые: (x²+3x+y²) - (x²+3x-y²) = x²+3x+y² - x² - 3x + y² = 2y². Ошибка в знаках приведет к неверному уравнению.
3
Не проверить решения подстановкой в оба уравнения
После нахождения пар (x,y) необходимо подставить их в оба исходных уравнения для проверки. Иногда могут возникать посторонние решения, особенно при работе с квадратными уравнениями.