Решите систему уравнений, состоящую из двух уравнений: x² + 3x + y² = 2 и x² + 3x - y² = -6. Найдите все пары значений переменных x и y, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.
Подробное объяснение
Для решения данной системы уравнений применяется метод замены переменной. Обозначив A = x² + 3x, система упрощается до двух уравнений: A + y² = 2 и A - y² = -6. Сложение этих уравнений позволяет найти значение A: 2A = -4, откуда A = -2. Подставив A = -2 в первое уравнение, получаем y² = 4, что даёт два значения y: 2 и -2. Затем решается квадратное уравнение x² + 3x = -2, которое приводится к виду x² + 3x + 2 = 0 и раскладывается на множители (x+1)(x+2)=0, что даёт два значения x: -1 и -2. Комбинируя все возможные пары значений x и y, получаем четыре решения системы: (-1,2), (-1,-2), (-2,2), (-2,-2).
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Что такое система уравнений и как её решать?
Система уравнений — это набор из двух или более уравнений с несколькими переменными, которые должны выполняться одновременно. Основные методы решения включают подстановку, сложение/вычитание уравнений и замену переменных, которые позволяют упростить систему и найти значения переменных.
2
Как проверить правильность решения системы уравнений?
Чтобы проверить решение, подставьте найденные значения переменных в каждое уравнение исходной системы. Если оба уравнения превращаются в верные числовые равенства (например, 2=2), то решение правильное. В данной задаче можно подставить пары (-1,2), (-1,-2), (-2,2) и (-2,-2) в оба уравнения, чтобы убедиться в их истинности.
3
Какие ещё методы можно использовать для решения подобных систем?
Помимо замены переменной, можно применить метод сложения уравнений напрямую: сложив исходные уравнения, получим 2x² + 6x = -4, что упрощается до x² + 3x = -2, а затем решить это квадратное уравнение. Также можно выразить y² из одного уравнения и подставить в другое, но метод замены, использованный в решении, часто более эффективен для симметричных систем.
Типичные ошибки
1
Потеря одного из решений при нахождении y
При решении уравнения y² = 4 некоторые забывают, что квадрат числа даёт два корня: y = 2 и y = -2. Ошибка возникает, если записать только y = 2, что приводит к неполному набору решений системы.
2
Неправильная комбинация значений x и y
После нахождения x = -1 и x = -2, а также y = 2 и y = -2, необходимо перебрать все возможные пары (x,y). Ошибка заключается в том, что комбинируют значения некорректно, например, связывая только x = -1 с y = 2 и x = -2 с y = -2, пропуская другие комбинации.
3
Ошибка в решении квадратного уравнения x² + 3x + 2 = 0
При факторизации уравнения x² + 3x + 2 = 0 некоторые могут ошибиться в разложении на множители, например, записать (x+2)(x+1)=0, но перепутать знаки или корни. Правильное разложение: (x+1)(x+2)=0, что даёт корни x = -1 и x = -2. Также возможна ошибка в применении формулы дискриминанта, если решать через него.