В школьной библиотеке зарегистрировано 120 читателей. Из них 70 брали художественную литературу, 65 – учебную. Какие утверждения обязательно верны?
Подробное объяснение
По формуле включений-исключений минимальное количество учеников, бравших обе категории, равно 70+65-120=15, следовательно, утверждение 1 верно. Также пересечение не может превышать 65, так как это размер меньшего множества, поэтому утверждение 3 верно. Утверждения 2 и 4 не следуют из данных.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Что такое формула включений-исключений?
Формула включений-исключений позволяет вычислить количество элементов в объединении множеств через их пересечения. Для двух множеств: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|.
2
Как определить минимальное пересечение двух множеств?
Минимальное пересечение достигается, когда объединение максимально (равно общему числу элементов). Тогда |A ∩ B| ≥ |A| + |B| - |U|.
3
Почему пересечение не может превышать размер меньшего множества?
Пересечение является подмножеством каждого из множеств, поэтому его размер не может быть больше размера любого из них.
Типичные ошибки
1
Считать, что утверждение 2 верно: нет ни одного ученика, бравшего только учебную литературу.
Это не следует из данных, так как пересечение может быть равно 15, тогда 50 учеников брали только учебную.
2
Считать, что утверждение 4 верно: все, кто брал художественную, брали и учебную.
Это означало бы A ⊆ B, но |A|=70 > |B|=65, что невозможно.
3
Игнорировать, что общее число учеников 120, а не 135 (сумма 70+65).
Сумма 135 превышает 120, поэтому обязательно есть пересечение не менее 15.