Найдите корень уравнения sqrt(x+1)=3.
Подробное объяснение
Чтобы решить уравнение sqrt(x+1)=3, возведем обе части в квадрат, так как корень четной степени и правая часть неотрицательна. Получим x+1=9, откуда x=8. Выполним проверку: sqrt(8+1)=sqrt(9)=3, верно. Таким образом, корень уравнения x=8.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Как решать уравнения с квадратным корнем?
Чтобы решить уравнение вида sqrt(f(x))=g(x), необходимо возвести обе части в квадрат, предварительно убедившись, что g(x)≥0. После возведения решаем полученное уравнение и проверяем корни подстановкой в исходное уравнение, так как возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней.
2
Почему нужно проверять корни после возведения в квадрат?
Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, так как при возведении теряется информация о знаке исходного выражения. Например, если исходное уравнение sqrt(x+1)=-3, то после возведения в квадрат получим x+1=9, x=8, но sqrt(9)=3, а не -3, поэтому x=8 не является корнем.
3
Что такое иррациональное уравнение?
Иррациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня (радикала). Для их решения часто используют возведение в степень, чтобы избавиться от корня, с последующей проверкой корней.
Типичные ошибки
1
Забывают проверить, что правая часть неотрицательна.
Перед возведением в квадрат нужно убедиться, что правая часть уравнения (в данном случае 3) неотрицательна, иначе корней не будет. Если правая часть отрицательна, уравнение не имеет решений, так как корень не может быть отрицательным.
2
Не выполняют проверку корней после возведения в квадрат.
Возведение в квадрат может привести к посторонним корням. Например, если бы было уравнение sqrt(x+1)=-3, то возведение дало бы x=8, но это не решение. Проверка обязательна.
3
Ошибаются в возведении в квадрат: считают, что sqrt(x+1)^2 = x+1, но забывают возвести в квадрат правую часть.
При возведении в квадрат обеих частей нужно возводить каждую часть полностью: (sqrt(x+1))^2 = x+1, а 3^2 = 9. Если забыть возвести 3 в квадрат, получится неверное уравнение x+1=3, что даст x=2, но это не корень.