Материальная точка совершает гармонические колебания. Найдите её координату в момент времени t=1 с, если скорость задана законом V(t) = -12π sin(30πt + π/3) м/с.
Подробное объяснение
Скорость гармонического колебания имеет вид V = -Aω sin(ωt + φ). Сравнив с данным законом, находим ω = 30π рад/с, Aω = 12π, откуда амплитуда A = 0.4 м, и начальная фаза φ = π/3. Координата x(t) = A cos(ωt + φ) = 0.4 cos(30πt + π/3). Подставляя t = 1 с, получаем x(1) = 0.4 cos(30π + π/3) = 0.4 cos(π/3) = 0.4 * 0.5 = 0.2 м.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Как связаны скорость и координата при гармонических колебаниях?
Скорость является производной координаты по времени: v = dx/dt. Для гармонического закона x = A cos(ωt + φ) скорость v = -Aω sin(ωt + φ).
2
Как найти амплитуду, зная закон изменения скорости?
Из закона скорости v = -Aω sin(ωt + φ) амплитуда скорости равна Aω. Сравнив с данным выражением, можно найти A и ω, а затем амплитуду координаты A.
3
Почему при t=1 с аргумент косинуса равен π/3, а не 30π+π/3?
Функция косинуса периодична с периодом 2π, поэтому 30π = 15·2π, что кратно периоду. Таким образом, cos(30π + π/3) = cos(π/3).
Типичные ошибки
1
Ошибочное определение амплитуды: считают A = 12π, забывая разделить на ω.
Амплитуда скорости равна Aω, поэтому из Aω = 12π следует A = 12π/ω. Если не учесть ω, то A будет завышена в ω раз.
2
Неправильное вычисление косинуса для угла 30π + π/3: забывают о периодичности косинуса.
Косинус имеет период 2π, поэтому cos(30π + π/3) = cos(π/3), а не cos(30π). Нужно вычитать целое число периодов.
3
Путаница между sin и cos при записи закона скорости.
Если координата x = A cos(ωt + φ), то скорость v = -Aω sin(ωt + φ). Некоторые ошибочно записывают v = Aω cos(ωt + φ), что неверно.