Найдите значение параметра a, при котором прямая y=4x+4 касается параболы y=ax²+24x+8.
Подробное объяснение
Для того чтобы прямая была касательной к параболе, уравнение, полученное приравниванием функций, должно иметь ровно одно решение. Это означает, что дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю. Приравнивая y=4x+4 и y=ax²+24x+8, получаем уравнение ax²+20x+4=0. Условие D=0 приводит к уравнению 400-16a=0, откуда находим a=25.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Что означает условие касания прямой и параболы?
Условие касания означает, что прямая и парабола имеют ровно одну общую точку, а в этой точке их производные равны (или уравнение пересечения имеет один корень).
2
Как найти точку касания прямой и параболы?
После нахождения параметра a, подставьте его в уравнение ax²+20x+4=0, решите его (корень будет один) и найдите x, затем подставьте x в уравнение прямой или параболы для нахождения y.
3
Можно ли решить эту задачу через производные?
Да, можно приравнять производные функций в точке касания: производная параболы 2ax+24 должна равняться угловому коэффициенту прямой 4, а также значения функций в этой точке должны совпадать.
Типичные ошибки
1
Приравнивание функций без учёта условия касания
Некоторые ученики просто приравнивают функции и пытаются решить уравнение, не используя условие D=0, что приводит к неверному результату или отсутствию решения.
2
Ошибка в расчёте дискриминанта
Неправильное применение формулы D=b²-4ac, например, забывая умножить на 4 или ошибаясь в знаках, может дать неверное значение параметра a.
3
Путаница с переносом слагаемых
При составлении уравнения ax²+20x+4=0 можно допустить арифметическую ошибку, неправильно сложив или вычтя коэффициенты при x и свободные члены.