В окружности с центром O отрезки AB и CK являются диаметрами. Известно, что AK = 5 см, AB = 12 см. Найдите длину отрезка CK в сантиметрах.
Подробное объяснение
Поскольку AB — диаметр окружности, радиус равен половине его длины: R = AB/2 = 6 см. В треугольнике AKB угол AKB прямой, так как он опирается на диаметр AB. Применяя теорему Пифагора, находим KB: AB² = AK² + KB² → 12² = 5² + KB² → KB = √119 см. В треугольнике KBC угол CBK также прямой, потому что CK — диаметр. Учитывая, что BC = AK = 5 см (по симметрии), снова используем теорему Пифагора: CK² = KB² + BC² = 119 + 25 = 144 → CK = 12 см. Таким образом, длина диаметра CK равна 12 см.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Как найти радиус окружности, если известен диаметр?
Радиус равен половине диаметра: R = d/2. Например, если диаметр AB = 12 см, то радиус R = 6 см.
2
Какие свойства имеет угол, опирающийся на диаметр окружности?
Угол, опирающийся на диаметр окружности, всегда является прямым (равен 90°). Это следует из теоремы о вписанном угле.
3
Как применить теорему Пифагора в задачах с окружностью?
Теорема Пифагора используется в прямоугольных треугольниках, образованных хордами и диаметрами. Например, если в треугольнике известны два катета, гипотенуза находится по формуле: c² = a² + b².
Типичные ошибки
1
Использование неверного значения радиуса
Ошибка возникает, если забыть, что радиус равен половине диаметра. Например, при AB = 12 см, радиус R = 6 см, а не 12 см.
2
Неверное применение теоремы Пифагора
В треугольнике AKB угол AKB прямой, поэтому AB — гипотенуза. Ошибка — считать AK или KB гипотенузой, что приводит к неверному вычислению.
3
Путаница с длинами отрезков
Можно ошибочно принять, что CK = AK = 5 см, но CK — диаметр, а AK — хорда. Диаметр CK вычисляется через теорему Пифагора в треугольнике KBC.