На окружности с радиусом 3 отмечена точка C. Отрезок AB является диаметром этой окружности, а длина AC равна 2√5. Требуется найти длину отрезка BC.
Подробное объяснение
Поскольку AB — диаметр окружности, угол ACB, опирающийся на этот диаметр, является прямым согласно теореме о вписанном угле. Таким образом, треугольник ACB — прямоугольный с гипотенузой AB. Зная радиус окружности (3), находим диаметр AB = 2 * 3 = 6. Применяя теорему Пифагора к треугольнику ACB, где AC = 2√5 (квадрат длины AC равен 20), вычисляем: BC² = AB² - AC² = 36 - 20 = 16. Следовательно, BC = √16 = 4.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Почему угол, опирающийся на диаметр, является прямым?
Это следует из теоремы о вписанном угле: вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, всегда равен 90°, так как он измеряется половиной дуги, на которую опирается, а дуга, стягиваемая диаметром, составляет 180°.
2
Как найти длину диаметра, если известен радиус окружности?
Диаметр окружности равен удвоенному радиусу. Формула: D = 2R, где D — диаметр, R — радиус.
3
В каких задачах применяется теорема Пифагора?
Теорема Пифагора используется для нахождения длин сторон в прямоугольных треугольниках. Она утверждает, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b².
Типичные ошибки
1
Использование теоремы Пифагора без проверки, что треугольник прямоугольный.
Теорема Пифагора применима только к прямоугольным треугольникам. Если не установить, что угол ACB прямой (что следует из того, что AB — диаметр), применение формулы будет некорректным.
2
Неправильное вычисление квадрата выражения 2√5.
Квадрат 2√5 вычисляется как (2√5)² = 4 * 5 = 20, а не как 2 * (√5)² = 2 * 5 = 10. Важно возводить в квадрат весь множитель.
3
Путаница между радиусом и диаметром при нахождении AB.
Диаметр AB равен 2R, где R — радиус. Если подставить R = 3, то AB = 6, а не 3. Ошибка возникает, если случайно использовать радиус вместо диаметра в вычислениях.