На графике изображена производная функции y=f'(x), определенной на интервале (-6;5). Определите точку на отрезке [-5;-2], в которой функция f(x) достигает своего минимального значения.
Подробное объяснение
Для определения точки минимума функции f(x) на отрезке анализируем поведение её производной f'(x). Поскольку на всем отрезке [-5;-2] график производной находится выше оси Ox, это означает, что f'(x) > 0 для всех x из этого промежутка. Следовательно, функция f(x) строго возрастает на данном отрезке. В возрастающей функции наименьшее значение всегда достигается в левом конце отрезка, поэтому минимальное значение f(x) на [-5;-2] будет в точке x = -5.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Как определить, возрастает или убывает функция по графику её производной?
Если график производной находится выше оси Ox (f'(x) > 0), функция возрастает. Если ниже оси Ox (f'(x) < 0), функция убывает.
2
Всегда ли минимум функции на отрезке находится в точке, где производная равна нулю?
Нет, минимум на отрезке может достигаться либо в критических точках (где производная равна нулю или не существует), либо на концах отрезка. Необходимо сравнивать значения функции во всех этих точках.
3
Что означает, если производная функции положительна на всем интервале?
Если f'(x) > 0 на интервале, то функция f(x) строго возрастает на этом интервале. Это означает, что для любых двух точек x1 < x2 из интервала выполняется f(x1) < f(x2).
Типичные ошибки
1
Поиск точки, где производная равна нулю, без учета концов отрезка
На отрезке [-5;-2] производная нигде не равна нулю, но это не означает отсутствия минимума. Минимум может достигаться на концах отрезка, что и происходит в данном случае.
2
Смешение понятий минимума функции и минимума производной
Задача требует найти точку минимума исходной функции f(x), а не её производной f'(x). График показывает производную, по которой мы определяем поведение f(x).
3
Предположение о наличии локального минимума внутри отрезка
Так как производная положительна на всем отрезке, функция монотонно возрастает и не имеет локальных минимумов внутри промежутка. Минимум обязательно находится на левом конце отрезка.