В равнобедренном треугольнике ABC с боковыми сторонами AC=BC=25 проведена высота CH=20 к основанию AB. Найдите значение косинуса угла A.
Подробное объяснение
В равнобедренном треугольнике ABC высота CH, опущенная на основание AB, является также медианой, поэтому точка H делит основание пополам. Рассматривая прямоугольный треугольник ACH, где AC=25 (гипотенуза) и CH=20 (катет), находим второй катет AH по теореме Пифагора: AH = √(25² - 20²) = √(625 - 400) = √225 = 15. Косинус угла A в треугольнике ABC равен отношению прилежащего катета AH к гипотенузе AC в прямоугольном треугольнике ACH: cosA = AH/AC = 15/25 = 0.6.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Почему высота в равнобедренном треугольнике является медианой?
В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, совпадает с медианой и биссектрисой благодаря симметрии фигуры, что следует из равенства боковых сторон и углов при основании.
2
Как найти синус угла A в этой задаче?
В прямоугольном треугольнике ACH синус угла A равен отношению противолежащего катета CH к гипотенузе AC: sinA = CH/AC = 20/25 = 0.8.
3
Можно ли решить задачу через теорему косинусов?
Да, можно: зная стороны AB=30 (так как AH=15, то AB=2×15=30) и AC=BC=25, по теореме косинусов cosA = (AB² + AC² - BC²)/(2×AB×AC) = (900 + 625 - 625)/(2×30×25) = 900/1500 = 0.6.
Типичные ошибки
1
Использование CH как гипотенузы
Ошибка возникает, если принять высоту CH=20 за гипотенузу в треугольнике ACH, но в прямоугольном треугольнике гипотенузой всегда является боковая сторона AC=25, противолежащая прямому углу.
2
Расчёт cosA как CH/AC
Неверно вычислять cosA как отношение высоты CH к стороне AC, поскольку косинус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета (AH) к гипотенузе (AC), а CH — противолежащий катет.
3
Путаница с основанием треугольника
Ошибка, если принять боковые стороны AC или BC за основание, но в равнобедренном треугольнике основанием является сторона AB, к которой проведена высота, что важно для корректного построения прямоугольного треугольника ACH.