Какие из перечисленных функций являются непрерывными для всех действительных чисел?
Подробное объяснение
Непрерывность на всей числовой прямой означает, что функция определена и непрерывна в каждой точке множества действительных чисел. Многочлены, такие как x², непрерывны на ℝ. Тригонометрическая функция синус также непрерывна на ℝ. Дробная функция 1/x не определена в точке x=0, поэтому не является непрерывной на всей прямой. Логарифмическая функция ln(x) определена только для положительных x, следовательно, не может быть непрерывной на ℝ.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Что значит функция непрерывна на всей числовой прямой?
Это означает, что функция определена и непрерывна в каждой точке множества всех действительных чисел (ℝ). Например, многочлены и тригонометрические функции (синус, косинус) непрерывны на ℝ.
2
Какие функции являются непрерывными на всей числовой прямой?
К непрерывным на ℝ функциям относятся: многочлены (например, x², 3x+5), тригонометрические функции sin(x) и cos(x), экспоненциальная функция eˣ. Дробные функции (1/x) и логарифмические (ln x) не являются непрерывными на всей прямой из-за точек разрыва или области определения.
3
Почему функция 1/x не является непрерывной на всей числовой прямой?
Функция 1/x не определена в точке x=0, где происходит разрыв. Для непрерывности на всей прямой функция должна быть определена и непрерывна в каждой точке, включая x=0.
Типичные ошибки
1
Считать, что функция 1/x непрерывна на ℝ, потому что она непрерывна на каждом из интервалов (-∞,0) и (0,∞).
Хотя функция 1/x непрерывна на каждом из этих интервалов, она не определена в точке x=0, поэтому не является непрерывной на всей числовой прямой.
2
Считать, что логарифмическая функция ln(x) непрерывна на ℝ, поскольку она непрерывна на своей области определения (0,∞).
Область определения ln(x) — только положительные числа. Для непрерывности на ℝ функция должна быть определена при всех x, включая неположительные, что не выполняется.
3
Путать непрерывность на всей прямой с непрерывностью на интервале. Например, считать, что функция tg(x) непрерывна на ℝ, хотя она имеет разрывы в точках π/2 + πk.
Тангенс не определен в точках, где cos(x)=0, поэтому не является непрерывным на всей числовой прямой.