В первом цилиндрическом сосуде высота жидкости составляет 27 см. Эту жидкость без потерь переливают во второй цилиндрический сосуд, у которого диаметр основания в три раза больше. На какой высоте установится уровень жидкости во втором сосуде? Ответ выразите в сантиметрах.
Подробное объяснение
При переливании жидкости её объём сохраняется. Объём цилиндра вычисляется как произведение площади основания на высоту: V = S·h. Поскольку диаметр второго сосуда в 3 раза больше, его радиус также в 3 раза больше, а площадь основания увеличивается в квадрат этой величины, то есть в 9 раз. Приравнивая объёмы жидкости в обоих сосудах, получаем S₁·h₁ = S₂·h₂ = 9S₁·h₂, откуда h₂ = h₁/9. Подставляя исходную высоту 27 см, находим h₂ = 27/9 = 3 см.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Как изменится высота жидкости, если диаметр сосуда увеличить в n раз?
Высота уменьшится в n² раз, так как площадь основания увеличивается пропорционально квадрату радиуса.
2
Сохраняется ли объём жидкости при переливании?
Да, если переливание происходит без потерь, объём жидкости остаётся постоянным.
3
Как связаны диаметр и радиус цилиндра?
Диаметр равен удвоенному радиусу: d = 2r, поэтому изменение диаметра в k раз означает такое же изменение радиуса.
Типичные ошибки
1
Делить высоту на 3, а не на 9
Ошибка возникает, если забыть, что площадь основания зависит от квадрата радиуса, и считать, что увеличение диаметра в 3 раза прямо пропорционально влияет на высоту.
2
Использовать формулу объёма через диаметр без учёта квадрата
Неправильно применять V = πd²h/4, путая с площадью круга, где используется квадрат диаметра.
3
Не учитывать сохранение объёма
Пытаться решать задачу через прямое сравнение высот без уравнения объёмов, что приводит к неверному результату.