Саша решает задачи по математике, увеличивая ежедневную нагрузку на одинаковое количество. За первый день он решил 3 задачи, а за 12 дней справился со всеми 300 задачами. Сколько задач он решил в последний день?
Подробное объяснение
Данная задача решается с использованием формулы суммы арифметической прогрессии. Ежедневное количество решённых задач образует арифметическую прогрессию, где первый член a₁ = 3, количество дней n = 12, а сумма всех задач S₁₂ = 300. Применяя формулу суммы прогрессии Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ), подставляем известные значения: 300 = 12/2 × (3 + a₁₂). Упрощая уравнение, получаем 300 = 6 × (3 + a₁₂), затем 3 + a₁₂ = 50, откуда a₁₂ = 47. Таким образом, в последний день Саша решил 47 задач.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Что такое арифметическая прогрессия?
Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число, называемое разностью прогрессии.
2
Как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии?
Сумму можно вычислить по формуле Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ), где a₁ — первый член, aₙ — n-й член, n — количество членов. Альтернативная формула: Sₙ = n/2 × (2a₁ + (n-1)d), где d — разность прогрессии.
3
Можно ли решить эту задачу, не зная формулу суммы прогрессии?
Да, можно составить систему уравнений, обозначив разность прогрессии как d, тогда a₁₂ = 3 + 11d, а сумма S₁₂ = 12/2 × (3 + (3 + 11d)) = 300, что приводит к тому же уравнению.
Типичные ошибки
1
Использование неправильной формулы суммы, например, Sₙ = a₁ + (n-1)d
Эта формула находит n-й член прогрессии, а не сумму. Путаница возникает из-за схожих обозначений в формулах для членов и сумм прогрессии.
2
Неправильный подсчёт количества дней, например, использование n = 11 вместо n = 12
Ошибка возникает, если не учесть, что первый день уже включён в общее количество дней. В задаче указано, что всего дней 12, начиная с первого.
3
Ошибка в арифметике при решении уравнения, например, 300/6 = 60 вместо 50
Такая ошибка приводит к неверному результату: a₁₂ = 60 - 3 = 57. Важно внимательно выполнять деление и вычитание на каждом шаге решения.