Найдите производную функции f(x) = (x² + 1)/(x - 1).
Подробное объяснение
Для вычисления производной данной функции применяем правило дифференцирования частного двух функций: (u/v)' = (u'v - uv')/v². В нашем случае u = x² + 1, v = x - 1. Находим производные: u' = 2x, v' = 1. Подставляем в формулу: f'(x) = (2x·(x-1) - (x²+1)·1)/(x-1)². Упрощаем числитель: 2x² - 2x - x² - 1 = x² - 2x - 1. Итоговый результат: f'(x) = (x² - 2x - 1)/(x - 1)².
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Как найти производную частного двух функций?
Используйте формулу (u/v)' = (u'v - uv')/v², где u и v - дифференцируемые функции, v ≠ 0.
2
Что делать, если в знаменателе стоит сложное выражение?
Применяйте то же правило частного, но аккуратно вычисляйте производную знаменателя, возможно используя цепное правило.
3
Можно ли упростить полученную производную дальше?
В данном случае выражение (x² - 2x - 1)/(x-1)² уже является канонической формой, дальнейшее упрощение не требуется.
Типичные ошибки
1
Забыть возвести знаменатель в квадрат в формуле производной частного
По правилу (u/v)' = (u'v - uv')/v² знаменатель обязательно возводится в квадрат, а не остается без изменения.
2
Неправильно вычислить производную числителя или знаменателя
Производная x² + 1 равна 2x, а не 2x + 1 или другой вариант. Производная x - 1 равна 1, а не 0 или x.
3
Перепутать порядок вычитания в числителе формулы
В формуле (u'v - uv') важно сохранять именно такой порядок: производная числителя умножается на знаменатель минус числитель умножается на производную знаменателя.