Определите точки разрыва функции f(x) = (x² - 1)/(x² - 4x + 3) и выберите правильные варианты из предложенных.
Подробное объяснение
Для определения точек разрыва функции f(x) = (x² - 1)/(x² - 4x + 3) сначала разложим числитель и знаменатель на множители: числитель (x-1)(x+1), знаменатель (x-1)(x-3). Точками возможного разрыва являются нули знаменателя: x=1 и x=3. После сокращения общего множителя (x-1) при x≠1 получаем f(x) = (x+1)/(x-3). В точке x=1 функция имеет устранимый разрыв (дырку), а в точке x=3 - вертикальную асимптоту (неустранимый разрыв). Среди предложенных вариантов верен только разрыв в точке x=1.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Что такое устранимый разрыв функции?
Устранимый разрыв возникает, когда функция не определена в точке, но существует предел функции в этой точке. После устранения общего множителя функция становится непрерывной в этой точке, кроме самой точки разрыва.
2
Как найти вертикальные асимптоты рациональной функции?
Вертикальные асимптоты рациональной функции находятся в точках, где знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю в этих точках. Эти точки соответствуют неустранимым разрывам функции.
3
Можно ли сокращать общие множители в числителе и знаменателе при анализе функции?
Да, но с важным условием: сокращение допустимо только для значений x, не обращающих общий множитель в ноль. После сокращения нужно отдельно анализировать поведение функции в точках, где был общий множитель.
Типичные ошибки
1
Сокращение общего множителя без учета ограничения x≠1
Неправильно считать, что после сокращения (x-1) функция определена в точке x=1. Сокращение допустимо только при x≠1, поэтому точка x=1 остается точкой разрыва.
2
Путаница между точками разрыва x=1 и x=3
В точке x=1 разрыв устранимый (дырка), а в точке x=3 - неустранимый (вертикальная асимптота). Эти типы разрывов имеют разную природу и поведение функции в их окрестностях.
3
Неправильное определение точек разрыва как x=4 или x=-3
Точки x=4 и x=-3 не являются нулями знаменателя исходной функции. Знаменатель x²-4x+3 обращается в ноль только при x=1 и x=3, поэтому других точек разрыва у данной функции нет.