Проверьте истинность двух утверждений о степенной функции y = x^n: A) При x = 1 значение функции равно 1; B) При стремлении x к плюс бесконечности функция стремится к минус бесконечности.
Подробное объяснение
Рассмотрим степенную функцию y = x^n, где n - целое число. Утверждение A верно, так как при x = 1 значение 1^n всегда равно 1 для любого целого n, поскольку единица в любой степени остаётся единицей. Утверждение B неверно, потому что при x → +∞ поведение функции зависит от показателя степени: при n > 0 функция стремится к +∞, при n = 0 остаётся равной 1, а при n < 0 стремится к нулю. Ни в одном из этих случаев функция не может стремиться к -∞, что делает утверждение B ошибочным.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Как ведёт себя степенная функция при x → 0?
При x → 0 поведение функции y = x^n зависит от показателя степени: при n > 0 функция стремится к 0, при n = 0 равна 1, при n < 0 стремится к бесконечности (положительной или отрицательной в зависимости от знака x).
2
Что такое степенная функция и каковы её основные свойства?
Степенная функция имеет вид y = x^n, где n - действительное число. Основные свойства: область определения зависит от n, при n > 0 функция возрастает на (0, +∞), при n < 0 убывает, при чётном n функция чётная, при нечётном - нечётная.
3
Как определить поведение функции на бесконечности?
Для определения поведения функции при x → ±∞ анализируют старший член выражения. Для степенной функции y = x^n при x → +∞: если n > 0, то y → +∞; если n < 0, то y → 0; если n = 0, то y = 1.
Типичные ошибки
1
Считать, что 1^n может быть не равно 1
Это неверно, так как единица в любой степени (включая отрицательную и нулевую) всегда равна 1. Ошибка возникает из-за путаницы с основанием, отличным от 1.
2
Думать, что x^n при x → +∞ всегда стремится к +∞
Это верно только при n > 0. При n < 0 функция стремится к 0, а при n = 0 остаётся постоянной. Ошибка возникает из-за неучёта всех возможных значений показателя степени.
3
Путать поведение функции при x → +∞ и x → -∞
Для степенной функции поведение при положительной и отрицательной бесконечности может различаться, особенно при чётных и нечётных n. Например, при чётном n и x → -∞ функция также стремится к +∞, а не к -∞.