Упростите алгебраическую дробь (a+4)/(16-a²), выполнив сокращение общих множителей.
Подробное объяснение
Для сокращения дроби (a+4)/(16-a²) сначала разложим знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов: 16-a² = 4²-a² = (4-a)(4+a). Затем замечаем, что числитель a+4 равен 4+a, что позволяет сократить общий множитель (4+a) в числителе и знаменателе. В результате получаем упрощенную дробь 1/(4-a), при этом важно помнить об области допустимых значений: a не должно равняться ±4, чтобы знаменатель исходной дроби не обращался в ноль.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Что такое разность квадратов и как ее применять?
Разность квадратов — это формула a²-b² = (a-b)(a+b), которая позволяет разложить выражение на множители. В данной задаче она применяется к знаменателю 16-a², преобразуя его в (4-a)(4+a).
2
Почему важно учитывать область допустимых значений при сокращении дробей?
Область допустимых значений определяет, при каких переменных дробь имеет смысл (знаменатель не равен нулю). При сокращении область может измениться, но исходные ограничения (например, a≠±4 здесь) должны сохраняться, чтобы не потерять решения или не допустить деление на ноль.
3
Как проверить правильность сокращения дроби?
Для проверки можно подставить конкретные значения переменной (кроме исключенных из области) в исходную и упрощенную дроби — результаты должны совпадать. Например, при a=0: исходная дробь (0+4)/(16-0)=4/16=1/4, упрощенная 1/(4-0)=1/4.
Типичные ошибки
1
Сокращение без учета знаков, например, запись (a+4)/(16-a²) = 1/(4+a)
Это неверно, так как после разложения знаменателя на (4-a)(4+a) общий множитель (4+a) сокращается с числителем (a+4), оставляя 1/(4-a), а не 1/(4+a). Путаница возникает из-за невнимательности к порядку слагаемых.
2
Игнорирование области допустимых значений, например, утверждение, что дробь определена при всех a
Дробь не определена, когда знаменатель равен нулю: 16-a²=0 при a=±4. Даже после сокращения эти значения исключаются, так как исходное выражение при них не имеет смысла.
3
Неправильное разложение знаменателя, например, 16-a² = (a-4)(a+4)
Это ошибочно: по формуле разности квадратов 16-a² = (4-a)(4+a). Множители (a-4) и (4-a) отличаются знаком, что может привести к неверному сокращению. Правильно выносить общий множитель так, чтобы сохранить эквивалентность исходному выражению.