Найдите значение производной функции, заданной параметрически, в точке x0=1. Ответ округлите до сотых. Функция: y=2^(51t), x=2^(84t).
Подробное объяснение
Для нахождения производной параметрически заданной функции используем формулу dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt). Сначала находим производные по t: dy/dt = 2^(51t)*ln(2)*51, dx/dt = 2^(84t)*ln(2)*84. Тогда dy/dx = (51/84)*2^(-33t). Точка x0=1 соответствует t=0, так как 2^(84t)=1. Подставляем t=0: dy/dx = 51/84 = 17/28 ≈ 0.60714. Округляя до сотых, получаем 0.61.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Что такое параметрически заданная функция?
Параметрически заданная функция — это способ задания зависимости между переменными x и y через третью переменную t, называемую параметром. Обычно записывается в виде системы: x = f(t), y = g(t).
2
Как найти производную параметрически заданной функции?
Производная dy/dx вычисляется по формуле dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt), где dy/dt и dx/dt — производные по параметру t. Важно, что dx/dt ≠ 0.
3
Как найти значение параметра t, соответствующее заданному x?
Для этого нужно решить уравнение x(t) = x0 относительно t. В данном примере x = 2^(84t), и для x0=1 получаем 2^(84t)=1, откуда 84t=0, то есть t=0.
Типичные ошибки
1
Забывают использовать формулу dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) и пытаются выразить y через x напрямую.
Параметрическая форма не всегда позволяет явно выразить y(x), поэтому необходимо использовать производные по параметру.
2
Неправильно находят производные показательной функции: забывают про множитель ln(a).
Производная a^t равна a^t * ln(a). Например, для 2^(51t) производная равна 2^(51t)*ln(2)*51.
3
Ошибка при упрощении показателя степени: 2^(51t)/2^(84t) = 2^(51t-84t) = 2^(-33t), а не 2^(51t-84t) = 2^(-33).
Степени вычитаются, но t остается в показателе, так как это переменная. Только после подстановки конкретного t показатель становится числом.