Найдите объем тела, ограниченного поверхностями z = y/x, y = 4, y = 6, x = 1, x = e.
Подробное объяснение
Объем вычисляется как двойной интеграл функции z = y/x по прямоугольной области D: 1 ≤ x ≤ e, 4 ≤ y ≤ 6. Сначала интегрируем по y, получая 10/x, затем по x, что дает 10. Таким образом, объем равен 10.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Как вычислить объем тела, ограниченного поверхностями?
Объем вычисляется как двойной интеграл функции, задающей верхнюю границу, по области, заданной проекцией тела на плоскость xy.
2
Что делать, если нижняя граница не указана?
Обычно подразумевается, что тело ограничено снизу плоскостью z=0, если не указано иное.
3
Как выбрать порядок интегрирования в двойном интеграле?
Порядок интегрирования выбирается исходя из удобства: сначала интегрируем по той переменной, пределы которой проще выразить через другую.
Типичные ошибки
1
Забыть про нижнюю границу z=0 и считать интеграл только по поверхности.
Объем подразумевает наличие нижней границы; если она не указана, обычно берут z=0.
2
Неправильно расставить пределы интегрирования, например, перепутать x и y.
Пределы должны соответствовать области: x от 1 до e, y от 4 до 6.
3
Ошибка при вычислении интеграла: забыть, что 1/x при интегрировании по x дает ln|x|.
Интеграл от 1/x равен ln|x|, и при подстановке пределов нужно внимательно вычислить разность логарифмов.