Чему равен статический момент однородной плоской фигуры, ограниченной кривой y = sqrt(x), прямой x = 4 и осью Ox, относительно оси Oy?
Подробное объяснение
Фигура задана условиями 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ √x. Статический момент относительно оси Oy вычисляется как двойной интеграл ∫∫ x dA, который сводится к повторному интегралу ∫_{0}^{4} ∫_{0}^{√x} x dy dx. Внутренний интеграл дает x√x = x^{3/2}, затем внешний интеграл ∫_{0}^{4} x^{3/2} dx = (2/5) x^{5/2} от 0 до 4. Подставляя 4, получаем (2/5)*32 = 64/5. Проверка через площадь A = 16/3 и координату центра масс x̄ = 12/5 подтверждает результат.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Что такое статический момент фигуры?
Статический момент плоской фигуры относительно оси — это интеграл от расстояния до оси по площади. Он используется для нахождения центра масс.
2
Как вычислить статический момент через двойной интеграл?
Для оси Oy статический момент S_{Oy} = ∬_D x dA. Если область задана как x от a до b, y от f(x) до g(x), то S_{Oy} = ∫_a^b x (g(x)-f(x)) dx.
3
В чем отличие статического момента относительно оси Ox и Oy?
Относительно оси Ox: S_{Ox} = ∬ y dA, относительно Oy: S_{Oy} = ∬ x dA. Разные оси дают разные моменты.
Типичные ошибки
1
Путать статический момент с моментом инерции.
Статический момент — это ∫ x dA, а момент инерции — ∫ x² dA. Это разные величины.
2
Неправильно расставлять пределы интегрирования.
Для фигуры под кривой y = √x от x=0 до x=4, внутренний интеграл по y от 0 до √x, а внешний по x от 0 до 4. Если перепутать, результат будет неверным.
3
Забыть, что фигура однородная.
Для однородной фигуры плотность постоянна и равна 1, поэтому статический момент вычисляется без дополнительного множителя плотности.