Если f(x) интегрируема на отрезке [a; b], то чему равен определённый интеграл от a до b функции f(x)?
Подробное объяснение
Согласно свойству определённого интеграла, при перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный. То есть ∫_a^b f(x) dx = -∫_b^a f(x) dx. Это верно для любой интегрируемой функции на отрезке [a; b]. Таким образом, правильный ответ — вариант 4.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Что такое определённый интеграл?
Определённый интеграл от функции f(x) на отрезке [a; b] равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и прямыми x=a и x=b.
2
Как меняется определённый интеграл при перестановке пределов?
При перестановке пределов интегрирования знак определённого интеграла меняется на противоположный: ∫_a^b f(x) dx = -∫_b^a f(x) dx.
3
Какие свойства определённого интеграла вы знаете?
Основные свойства: линейность (∫(af+bg)=a∫f+b∫g), аддитивность по отрезку (∫_a^b f = ∫_a^c f + ∫_c^b f), и свойство перестановки пределов (∫_a^b f = -∫_b^a f).
Типичные ошибки
1
Полагают, что ∫_a^b f(x) dx = ∫_b^a f(x) dx
Это неверно, так как при перестановке пределов интеграл меняет знак, а не остаётся тем же.
2
Считают, что свойство перестановки пределов применимо только для непрерывных функций
На самом деле свойство верно для любой интегрируемой функции, независимо от её непрерывности.
3
Путают с неопределённым интегралом, где нет пределов
Неопределённый интеграл — это семейство первообразных, а определённый — число, и свойства у них разные.