Найдите первообразную функции (5x+2)^8, выбрав правильный вариант ответа из предложенных.
Подробное объяснение
Для нахождения первообразной ∫(5x+2)^8 dx применяется метод замены переменной. Положим u = 5x + 2, тогда du = 5dx, откуда dx = du/5. Подставляя в интеграл: ∫u^8 * (du/5) = (1/5)∫u^8 du = (1/5) * (u^9/9) + C = u^9/45 + C. Возвращаясь к исходной переменной, получаем (5x+2)^9/45 + C. Таким образом, правильный ответ должен соответствовать этому выражению с учетом постоянной интегрирования C.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Что такое первообразная функции?
Первообразной функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна f(x): F'(x) = f(x). Нахождение первообразной - операция, обратная дифференцированию.
2
Когда применяется метод замены переменной при интегрировании?
Метод замены переменной используется, когда подынтегральное выражение содержит сложную функцию и её производную (или постоянное кратное производной). Это позволяет упростить интеграл, сведя его к табличному.
3
Почему в ответе добавляется константа C?
Константа интегрирования C добавляется потому, что производная постоянной равна нулю. Если F(x) - первообразная, то F(x) + C также будет первообразной для той же функции, так как производная константы C равна нулю.
Типичные ошибки
1
Забывают разделить на коэффициент при x при замене переменной
При замене u = 5x + 2, дифференциал du = 5dx, поэтому dx = du/5. Если не учесть этот множитель 1/5, получится неверный ответ (5x+2)^9/9 + C вместо правильного (5x+2)^9/45 + C.
2
Неправильно возводят в степень при обратной замене
После интегрирования u^9/45 + C необходимо корректно выполнить обратную замену u = 5x + 2. Ошибка возникает, если забывают подставить выражение (5x+2) вместо u или неправильно расставляют скобки.
3
Забывают добавить константу интегрирования C
При нахождении неопределённого интеграла обязательно нужно добавлять постоянную интегрирования C, так как первообразных у функции бесконечно много, отличающихся на константу.