Вычислите определенный интеграл функции (x² + 1) в пределах от 0 до 1. Найдите его точное числовое значение.
Подробное объяснение
Для вычисления интеграла ∫₀¹ (x² + 1) dx сначала находим первообразную функции: первообразная x² равна x³/3, а первообразная 1 равна x. Следовательно, первообразная всей функции F(x) = x³/3 + x. Затем применяем формулу Ньютона-Лейбница: F(1) - F(0) = (1³/3 + 1) - (0³/3 + 0) = (1/3 + 1) - 0 = 4/3. Таким образом, значение интеграла равно 4/3 или приблизительно 1.333.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Что такое определенный интеграл?
Определенный интеграл — это число, равное площади под графиком функции на заданном отрезке, вычисляемое через первообразную по формуле Ньютона-Лейбница.
2
Как найти первообразную для x² + 1?
Первообразная x² равна x³/3, а первообразная 1 равна x, поэтому первообразная суммы x² + 1 будет x³/3 + x + C, где C — константа интегрирования.
3
Что означает формула Ньютона-Лейбница?
Формула Ньютона-Лейбница связывает определенный интеграл с первообразной: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a), где F(x) — первообразная f(x).
Типичные ошибки
1
Забыть добавить константу интегрирования при нахождении первообразной
В определенном интеграле константа интегрирования сокращается при вычитании F(b) - F(a), поэтому её можно опустить, но важно помнить об этом при вычислениях.
2
Неправильно вычислить пределы интегрирования
Например, подставить значения в первообразную без учета порядка: F(0) - F(1) вместо F(1) - F(0), что даст отрицательный результат.
3
Ошибка в арифметике при подстановке значений
Например, вычислить 1³/3 как 1/3, но забыть сложить с 1, получив 1/3 вместо 4/3.