Найдите значение определённого интеграла от 0 до 1 от функции 2x по dx.
Подробное объяснение
Для вычисления определённого интеграла ∫(2x dx) от 0 до 1 сначала находим первообразную: ∫2x dx = x² + C. Затем подставляем верхний предел (1) и нижний предел (0): 1² - 0² = 1. Таким образом, значение интеграла равно 1.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Что такое определённый интеграл?
Определённый интеграл — это интеграл с заданными пределами интегрирования, который вычисляется как разность значений первообразной на верхнем и нижнем пределах.
2
Как найти первообразную от 2x?
Первообразная от 2x находится по правилу интегрирования степенной функции: ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C. Для 2x = 2x^1 получаем ∫2x dx = 2 * x^(2)/2 + C = x^2 + C.
3
Чему равен интеграл от 0 до 1 от x dx?
∫ от 0 до 1 x dx = (1/2)*1^2 - (1/2)*0^2 = 1/2.
Типичные ошибки
1
Ошибка: путают первообразную и производную. Например, считают, что интеграл от 2x равен 2.
Это неверно, потому что интеграл — это обратная операция к производной. Производная от x² равна 2x, поэтому первообразная 2x — это x².
2
Ошибка: забывают вычитать значение на нижнем пределе. Например, оставляют только 1² = 1, но не вычитают 0².
По формуле Ньютона-Лейбница необходимо вычесть значение первообразной на нижнем пределе: F(b) - F(a). Если этого не сделать, результат будет неверным.
3
Ошибка: неправильно находят первообразную, например, ∫2x dx = 2x².
Это неверно, так как при интегрировании степень увеличивается на 1, а коэффициент делится на новую степень. Правильно: ∫2x dx = 2 * x²/2 = x².