Дано, что F(x) является первообразной функции f(x). Чему равен интеграл от производной F(x)?
Подробное объяснение
По определению первообразной, F'(x) = f(x). Интеграл от F'(x) dx — это первообразная от F'(x), то есть F(x) плюс константа интегрирования C. Таким образом, ∫ F'(x) dx = F(x) + C. Среди вариантов ответа это соответствует варианту 4.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1
Что такое первообразная функции?
Первообразной функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна f(x): F'(x) = f(x).
2
Чем отличается неопределенный интеграл от определенного?
Неопределенный интеграл ∫ f(x) dx — это множество всех первообразных функции f(x), то есть F(x) + C. Определенный интеграл ∫_a^b f(x) dx — это число, равное площади под графиком функции на отрезке [a, b].
3
Почему при интегрировании добавляется константа C?
Потому что производная константы равна нулю, поэтому если F(x) — первообразная, то F(x) + C также является первообразной для любой константы C.
Типичные ошибки
1
Путать ∫ F'(x) dx с ∫ f(x) dx, считая, что результат равен f(x) + C.
∫ F'(x) dx = F(x) + C, а ∫ f(x) dx = F(x) + C, так как f(x) = F'(x). Оба интеграла равны одному и тому же выражению, но не f(x) + C.
2
Считать, что ∫ F'(x) dx = F'(x) + C.
Интеграл от производной возвращает исходную функцию, а не снова производную. Правильно: ∫ F'(x) dx = F(x) + C.
3
Забывать про константу интегрирования C.
Неопределенный интеграл всегда включает произвольную постоянную, так как производная константы равна нулю.